矩阵计算器

线性代数作业里最费时间的几件事：算行列式、求逆、解方程组。这页把它们做成填两个框就出结果，而且把高斯消元的每一步行变换都列出来，可以对着检查自己手算哪一步错了。全部在浏览器本地算。

怎么填矩阵

一行写一行，元素之间用空格、逗号或制表符隔开（从 Excel 直接复制粘贴也行）。支持负数、小数和 3/4 这样的分数写法。每行的元素个数必须一样，否则会报错并指出是第几行对不上。

为什么默认用分数显示

求逆和解方程组会大量做除法，用浮点数算到后面会出现 0.30000000000000004 这种误差，判断「是不是 0」时甚至会得出错误结论。本页内部全程用有理数（分子分母各存一个整数）做精确运算，最后才决定显示成分数还是小数，所以 1/3 就是 1/3，不会变成 0.333333。

行列式是怎么算的

用高斯消元化成上三角，对角线元素连乘，交换行时变号。这比按代数余子式递归展开快得多——4 阶以上展开法的计算量按阶乘增长，10 阶就要算三百多万项。过程区里会把每一步行变换列出来。

解方程组的三种结果

把增广矩阵化成行最简形后看两个秩：系数矩阵的秩 r 与增广矩阵的秩 r′。r ≠ r′ 时方程组无解（出现了 0 = 非零 这样的矛盾行）；r = r′ = 未知数个数 时有唯一解；r = r′ < 未知数个数 时有无穷多解，本页会给出一个特解和自由变量对应的基础解系。

矩阵乘法不满足交换律

AB ≠ BA，连维度都未必对得上：A 是 2×3、B 是 3×4 时 AB 存在而 BA 不存在。乘法要求「A 的列数 = B 的行数」，结果是「A 的行数 × B 的列数」。算错维度是这里最常见的错误，本页会先报维度再算。

逆矩阵什么时候不存在

只有方阵才谈得上逆，而且行列式必须非零。行列式为 0 的矩阵叫奇异矩阵，它把空间压扁到了更低的维度，信息丢了就回不来。这种情况本页会明确告诉你行列式是 0，并给出矩阵的秩说明被压到了几维。

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