统计计算器

粘一串数进来就能拿到均值、标准差、四分位这些描述统计量；另外还有正态分布查概率、置信区间、样本量估算和相关系数回归。每个结果都标了它用的是总体口径还是样本口径——这一点最容易出错。

总体标准差和样本标准差差在哪

总体标准差除以 n，样本标准差除以 n−1（贝塞尔校正）。原因是：用样本均值代替真实均值会让离差平方和系统性偏小，除以 n−1 正好把这个偏差补回来。手上的数据是从更大群体里抽出来的样本，就用 n−1 那个；如果这就是全部数据（比如全班 40 个人的成绩，你只关心这 40 个人），用 n。Excel 里 STDEV.S 是样本、STDEV.P 是总体，本页两个都给。

z 分数是什么

z = (x − μ) / σ，意思是「这个值比平均数高出几个标准差」。z = 2 表示高出 2 个标准差，在正态分布里大约排在前 2.3%。它的用处是把不同量纲的东西放在一起比：数学考 85（班均 75、标准差 10，z = 1.0）和英语考 78（班均 70、标准差 5，z = 1.6），英语其实考得更好。

经验法则（68-95-99.7）

正态分布里约 68% 的数据落在均值 ±1 个标准差内，95% 在 ±2 个内，99.7% 在 ±3 个内。工业上的「六西格玛」指的是把规格上下限放到 ±6σ，这样即使过程中心漂移 1.5σ，不良率仍低于百万分之 3.4。

95% 置信区间的正确读法

它不是「真值有 95% 的概率落在这个区间里」。正确的说法是：如果把整个抽样过程重复很多次、每次都算一个这样的区间，其中约 95% 的区间会包含真值。真值是固定的，随机的是区间。这个区别在写报告时经常被弄混。

样本量为什么和总体大小几乎无关

很多人以为调查 14 亿人需要的样本比调查 1 万人多得多，其实不然：在 95% 置信度、±3% 误差下，无论总体是 10 万还是 10 亿，需要的样本量都在 1067 左右。只有当样本占总体比例较大（超过 5%）时，有限总体校正才会明显减少所需样本。这就是为什么全国性民调只访问一两千人。

相关不等于因果

皮尔逊相关系数 r 只衡量线性关系的强弱：r = 0 只能说明没有线性关系，可能存在很强的曲线关系（比如 y = x² 在对称区间上 r 恰好是 0）。而且相关再强也不能推出因果——冰淇淋销量和溺水人数高度相关，共同原因是天气热。决定系数 r² 表示 Y 的变异中能被 X 解释的比例。

相关工具

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